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Les origines surprenantes de Dobble, le jeu qui malaxe maths et mots

Les mathématiques homériques qui se cachent dans le petit jeu de rapidité fun et familial Dobble.


Dobble

Dobble, vous connaissez certainement. Si vous êtes parent d’enfants de moins de 10 ans environ, il y a de fortes chances que vous connaissiez ce petit jeu appelé Dobble.

Dobble, c’est ce micro jeu aux cartes rondes édité par Asmodee, dans lequel on doit faire preuve d’observation et de rapidité pour observer, retrouver, puis nommer une paire d’éléments semblables sur deux cartes.

Derrière ce petit jeu d’association tout bête se cachent en réalité des mathématiques vraiment balaises !

Dobble, dans sa boîte ronde reconnaissable de loin, est vendu aujourd’hui sous de multiples thèmes : Marvel, Harry Potter, Gourmandise, Pat’Patrouille, même une version XXL à jouer grandeur nature.

On ne va pas se mentir, qu’on l’aime, ou pas, Dobble est extrêmement populaire ! Le jeu caracole dans le top dix de la liste des jeux sur les grandes plateformes en ligne, taquinant les grands classiques poussifs tels que le Uno et Taboo.

Depuis sa sortie en 2009, plus de 15 millions d’exemplaires du jeu ont été vendus, avec plus de 500 000 boîtes vendues chaque année rien qu’aux États-Unis !

Dobble est même souvent utilisés en classe, primaire, pour le développement cognitif qu’il propose. On a l’impression que jouer à Dobble fait du… bien pour la tête.

La structure de base du jeu est la suivante : le jeu contient 55 cartes, avec huit symboles sur chaque carte, provenant d’une réserve de 57 symboles au total. Si vous choisissez deux cartes, au hasard, un symbole correspond toujours entre les deux. Toujours. C’est tout le principe de Dobble.

Le jeu propose plusieurs manières de jouer : se défausser le plus rapidement de cartes, en récupérer, etc. Tout le sel et le principe du jeu reposent sur sa capacité à observer et reconnaître une paire d’éléments entre deux cartes ; deux fromages, deux dauphins, deux bonhommes de neige, etc.

Un jeu tout simple, tout bête.

Et est-ce que vous vous êtes déjà demandé comment il est possible que chaque carte corresponde à une autre carte d’une seule et unique manière ? Que l’on retrouve toujours, toujours, une seul et unique paire ?

En réalité, Dobble n’est pas aussi bête qu’il en a l’air. Derrière ce petit jeu aux cartes rondes se cache en réalité tout un arsenal de mathématiques épiques et complexes.

Dobble, un peu d’histoire

L’histoire de Dobble remonte bien avant 2009 et sa publication. Pour revenir aux racines du jeu, il faut remonter à… 1850 en Grande-Bretagne, et à un prêtre. C’est là que tout commence.

À l’époque, la Grande-Bretagne était au milieu d’une sorte de renaissance mathématique. Après une période de relative stagnation à l’époque géorgienne, le règne de la reine Victoria a, semble-t-il, produit toute une ribambelle de mathématiciens funky, avec des gens comme Charles Babbage, George Boole, John Venn (oui, comme les fameux diagrammes !) et Arthur Cayley.

C’était une ère de philosophie et d’investigation mathématiques plutôt abstraites, de définition des principes mathématiques qui, d’ailleurs, constituent la technologie numérique d’aujourd’hui. Sans tous ces mecs (peu ou pas de femmes…), ces geeks avant l’heure, l’informatique moderne ne pourrait pas exister. Vous ne pourriez donc pas lire cet article.

Le révérend Thomas Penynton Kirkman n’était pas l’une de ces rockstar des maths comme les autres nerds cités ci-dessus. Pas exactement. Kirkman était un ecclésiastique anglican titulaire d’un diplôme du Trinity College de Dublin. Kirkman a bossé dans une petite paroisse toute tranquille du Lancashire, dans le nord de l’Angleterre, pendant 52 ans.

Mais Kirkman était curieux. Kirkman a laissé derrière lui un catalogue de quelque 60 articles majeurs sur tout, de la théorie des groupes au polyèdre, de quoi faire saigner du nez quelqu’un qui n’est pas féru de maths. En 1850, Kirkman a soumis « Le Problème des 15 écolières » à « The Ladies and Gentleman’s Diary », un magazine annuel de mathématiques qui publiait des contenus envoyés par des mathématiciens, amateurs et professionnels.

L’énigme disait : « Quinze jeunes filles dans une école marchent trois de front pendant sept jours de suite : il est nécessaire de les arranger quotidiennement, de sorte que deux ne marchent pas deux fois de front. »

Le problème des écolières de Kirkman appartient à ce que l’on appelle aujourd’hui l’analyse combinatoire, une branche spécifique des maths, que l’on retrouve par ailleurs également dans les Sudoku.

Kirkman avait en fait résolu le problème trois ans auparavant, lorsqu’il avait déterminé le nombre d’écolières dont il aurait besoin pour faire fonctionner le problème. Cette preuve répondait à une question posée dans la même revue en 1844 : « Déterminez le nombre de combinaisons que l’on peut faire de n symboles, avec p symboles dans chacune des combinaisons ; avec cette limitation, qu’aucune combinaison de symboles q pouvant apparaître dans l’un d’eux ne doit être répétée dans une autre.

Kirkman a extrapolé la question de paires non répétées dans des triplets, en demandant à partir d’un certain nombre d’éléments, combien de triplés uniques peut-on avoir avant de commencer à voir des paires se répéter.

Dans son livre de 2006 sur le problème Kirkman, The Fifteen Schoolgirls, Dick Tahta donne plusieurs exemples de la façon dont le problème pourrait fonctionner : « Vous avez sept amis que vous souhaitez inviter à dîner à trois. Combien de fois pouvez-vous le faire avant que deux d’entre eux ne se réunissent une deuxième fois ? » Dans ce cas, n=7, p=3 et q=2. Bim, facile (non je frime, en réalité je n’y comprends rien, j’étais une pive en maths au lycée !)

La preuve de Kirkman se trouvait dans son tout premier article mathématique, présenté en décembre 1846, alors qu’il avait déjà 40 ans. Cela semblait être en réalité une solution à un problème posé par le célèbre géomètre et mathématicien suisse Jakob Steiner, et son fameux « triple système », une série de sous-ensembles uniques de trois.

Retour dans le futur de cent ans

Il faudra ensuite attendre un siècle pour trouver la solution générale et mettre à nu le principe qui explique les mécanismes du problème de Kirkman. Ce n’est en effet qu’en 1968, lorsque les mathématiciens Dijen Ray-Chaudhuri et son étudiant de l’époque, Richard Wilson, à l’Ohio State University, ont découvert le théorème pour expliciter la formule du problème soulevé par Kirman.

La solution générale de Ray-Chaudhuri et Wilson avait suscité une vague d’intérêt pour le problème des écolières de Kirkman, notamment en raison de ses applications dans le domaine en plein essor du codage et du calcul dans les années 70. Parmi ceux qui s’y intéressaient, il y avait un jeune passionné de mathématiques français appelé Jacques Cottereau. C’était en 1976, et Cottereau s’inspirait de théories relativement nouvelles des codes et des principes de ce qu’on appelle les « blocs incomplets équilibrés », dans lesquels un ensemble fini d’éléments est arrangé en sous-ensembles qui satisfont à certains paramètres « d’équilibre », un concept souvent utilisé dans la conception d’expériences. Oui, dit comme ça, ça semble compliqué. Et ça l’est.

Cottereau voulait proposer un modèle pour que le problème fonctionne dans n’importe quelle combinaison, et il voulait que ce soit fun. Il s’est vite rendu compte que les principes de la solution n’avaient pas besoin d’être des nombres ou des… écolières. Pour revoir le problème des écolières de Kirkman, Cottereau a conçu un « jeu d’insectes »: un ensemble de 31 cartes avec six images d’insectes, avec exactement une image partagée entre chacune d’eux. Le « jeu des insectes » est aujourd’hui l’ancêtre, le proto de ce qui allait devenir l’actuel Dobble, 30 ans plus tard !

Après avoir pris la poussière pendant trois décennies chez le mathématicien, un record pour un proto, il aura fallu la présence d’un autre français, Denis Blanchot, pour que ce « jeu des insectes » devienne le jeu à succès vendu à plusieurs millions d’exemplaires que l’on connaît aujourd’hui.

Il faut dire que Cottereau n’était ni un mathématicien professionnel ni un auteur de jeux. Il était juste un amateur qui avait une passion pour ce domaine de l’analyse combinatoire Denis Blanchot, qui n’est pas non plus un mathématicien mais un journaliste, tombe par hasard sur ce « jeu des insectes ». Le hasard fait bien les choses. Cottereau est en effet le père de la belle-sœur de Blanchot. Blanchot se dit que cela pourrait devenir un exercice, un objet, un jeu fun.

Des insectes aux bonhommes de neige

​Blanchot a réussi à convaincre Cottereau de ressortir le proto des tiroirs pour travailler sur les illustrations, de placer un mélange d’animaux, de signes et d’objets, dont certains font encore partie du jeu aujourd’hui. Après de nombreux tests, ils ont élaboré plusieurs approches, plusieurs règles, pour rendre le jeu jouable et encore plus fun. C’est ainsi que Dobble fut créé. Dobble, comme double, comme paire, à retrouver dans le jeu.

Les deux auteurs présentèrent le jeu à un petit éditeur, Play Factory, qui le sortit en 2009. Play Factory revendit ensuite les droits du jeu à Blue Orange, puis c’est en 2015 que Asmodee racheta le jeu, qui en possède encore les droits aujourd’hui.

Dobble, un jeu tout bête, tout simple. Et pourtant, la plupart des gens qui y jouent ne comprennent pas exactement pourquoi, comment le jeu fonctionne. Dobble est peut être facile à jouer, mais les maths qui s’y cachent sont plutôt balaises !

Je pense, donc j’essuie

Dobble est basé sur le principe d’Euclide, selon lequel deux lignes sur un plan infini à deux dimensions ne partageront qu’un seul point en commun. Aux XVIIIe et XIXe siècles, la géométrie euclidienne a jeté la base de l’algèbre moderne par l’intermédiaire du philosophe et mathématicien français René Descartes.

C’est lui qui a développé le théorème selon lequel on peut attribuer les coordonnées de ces points communs, de sorte qu’ils ne deviennent plus seulement des emplacements physiques. Selon le théorème, ces points pourraient devenir alors des nombres et plus tard, des systèmes de nombres.

Pour revenir au problème des écolières de Kirkman, considérez les filles comme des « points » et les groupes de trois filles comme des « lignes ». L’axiome d’Euclide est rempli ! La partie la plus difficile du problème est de diviser les 35 groupes en 7 groupes de 5 de sorte que chaque fille apparaisse une fois dans chaque groupe.

Le problème de Kirkman, et donc la solution Dobble, qui, se situe dans le domaine de la géométrie finie, si ça vous dit quelque chose. La plus basique de ces géométries possède q 2 points, avec q points sur chaque ligne, où q est le nombre d’éléments dans le système de nombres ou le champ choisi. Une petite variante donne q 2 +q+1 points, avec q+1 points sur chaque ligne. Vous n’y comprenez rien ? C’est normal.

Le plan de Fano, du nom du mathématicien italien Gino Fano, est une structure en géométrie finie où sept points sont reliés par sept lignes, avec le cercle au milieu. Chaque point compte exactement trois lignes qui se rencontrent et chaque ligne croise exactement trois points. Si les points représentaient des images et que les lignes étaient des cartes dans Dobble, chacune contenant uniquement les images que la ligne touche, alors il y aurait sept cartes avec trois images chacune, et deux cartes ne partageraient qu’une seule image. Le même concept peut être étendu pour un deck complet.

Et pour Dobble ? Prenons l’une de ces géométries et essayons d’en faire un jeu de cartes. Chaque carte sera considérée comme un point et portera un certain nombre de symboles représentant les lignes contenant ce point. Avec deux cartes, il n’y aura qu’un seul symbole qu’elles auront en commun, correspondant à la ligne unique passant par les deux points.

Avec q étant sept dans la formule, nous pouvons déterminer qu’il y a 57 points (7 2 +7+1), avec huit points (7+1) sur chaque ligne. Nous pouvons donc créer un paquet de 57 cartes, avec huit symboles sur chaque carte, et deux cartes quelconques ayant exactement un symbole en commun. Tadaaaa !

Oui mais. Ca serait trop « simple ». Car Dobble ne contient pas 57 cartes, il n’en contient que 55. Une théorie sur les deux cartes manquantes avance que les éditeurs ont utilisé des machines de fabrication de cartes standard, et que les jeux de cartes standard contiennent 55 cartes, soit 52 cartes, deux jokers et une pub. 55 cartes, et pas 57 ? Ce n’est pas un souci. Composez votre jeu pour 57 cartes et dégagez-en deux. Les 55 auront toujours la propriété que deux cartes quelconques partagent un seul et unique symbole. En réalité, quel que soit le nombre de cartes que vous perdez, la mécanique tient toujours !

La prochaine fois que vous faites une partie de Dobble, et quelqu’un se pose la question de savoir comment c’est possible qu’il y ait toujours une seule et unique paire sur deux cartes, vous pourrez vous la péter en expliquant tout ce que vous avez lu dans cet article.

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